数据类型和内存数据模型#

Apache Arrow 通过组合类型元数据和内存缓冲区来定义列式数组数据结构,就像在有关 内存和 I/O 的文档中所解释的那样。这些数据结构在 Python 中通过一系列相互关联的类公开

  • 类型元数据: pyarrow.DataType 的实例,描述数组的类型并控制其值如何解释

  • 模式: pyarrow.Schema 的实例,用于描述命名类型的集合。可以将它们视为类似表格对象中的列类型。

  • 数组: pyarrow.Array 的实例,它们是原子且连续的列式数据结构,由 Arrow 缓冲区对象组成。

  • 记录批次: pyarrow.RecordBatch 的实例,它们是一组具有特定模式的数组对象。

  • : pyarrow.Table 的实例,一个逻辑表数据结构,其中每列包含一个或多个相同类型的 pyarrow.Array 对象。

我们将在下面的部分中通过一系列示例来研究这些内容。

类型元数据#

Apache Arrow 为数组数据定义了与语言无关的列式数据结构。这些包括

  • 固定长度的原始类型: 数字、布尔值、日期和时间、固定大小的二进制、十进制以及其他适合特定数字的数值

  • 可变长度的原始类型: 二进制、字符串

  • 嵌套类型: 列表、映射、结构体和联合体

  • 字典类型: 一种编码的分类类型(稍后会详细介绍)

Arrow 中的每个数据类型都对应一个工厂函数,用于在 Python 中创建该类型对象的实例。

In [1]: import pyarrow as pa

In [2]: t1 = pa.int32()

In [3]: t2 = pa.string()

In [4]: t3 = pa.binary()

In [5]: t4 = pa.binary(10)

In [6]: t5 = pa.timestamp('ms')

In [7]: t1
Out[7]: DataType(int32)

In [8]: print(t1)
int32

In [9]: print(t4)
fixed_size_binary[10]

In [10]: print(t5)
timestamp[ms]

注意

不同的数据类型可能使用给定的物理存储。例如,int64float64timestamp[ms] 每个值都占用 64 位。

这些对象是 metadata;它们用于描述数组、模式和记录批次中的数据。在 Python 中,它们可以在函数中使用,其中输入数据(例如 Python 对象)可能被强制转换为多个 Arrow 类型。

The Field 类型是一个类型加上一个名称和可选的用户定义元数据

In [11]: f0 = pa.field('int32_field', t1)

In [12]: f0
Out[12]: pyarrow.Field<int32_field: int32>

In [13]: f0.name
Out[13]: 'int32_field'

In [14]: f0.type
Out[14]: DataType(int32)

Arrow 支持嵌套值类型,例如列表、映射、结构体和联合体。在创建这些类型时,您必须传递类型或字段以指示这些类型的子项的数据类型。例如,我们可以使用以下代码定义一个 int32 值的列表

In [15]: t6 = pa.list_(t1)

In [16]: t6
Out[16]: ListType(list<item: int32>)

A struct 是一个命名字段的集合

In [17]: fields = [
   ....:     pa.field('s0', t1),
   ....:     pa.field('s1', t2),
   ....:     pa.field('s2', t4),
   ....:     pa.field('s3', t6),
   ....: ]
   ....: 

In [18]: t7 = pa.struct(fields)

In [19]: print(t7)
struct<s0: int32, s1: string, s2: fixed_size_binary[10], s3: list<item: int32>>

为了方便起见,您可以直接传递 (name, type) 元组,而不是 Field 实例

In [20]: t8 = pa.struct([('s0', t1), ('s1', t2), ('s2', t4), ('s3', t6)])

In [21]: print(t8)
struct<s0: int32, s1: string, s2: fixed_size_binary[10], s3: list<item: int32>>

In [22]: t8 == t7
Out[22]: True

有关数据类型函数的完整列表,请参阅 数据类型 API

模式#

The Schema 类型类似于 struct 数组类型;它定义了记录批次或表格数据结构中的列名和类型。The pyarrow.schema() 工厂函数在 Python 中创建新的模式对象。

In [23]: my_schema = pa.schema([('field0', t1),
   ....:                        ('field1', t2),
   ....:                        ('field2', t4),
   ....:                        ('field3', t6)])
   ....: 

In [24]: my_schema
Out[24]: 
field0: int32
field1: string
field2: fixed_size_binary[10]
field3: list<item: int32>
  child 0, item: int32

在某些应用程序中,您可能不会直接创建模式,只会使用嵌入在 IPC 消息 中的模式。

数组#

对于每个数据类型,都有一个相应的数组数据结构,用于保存定义单个连续的列式数组数据的内存缓冲区。当您使用 PyArrow 时,这些数据可能来自 IPC 工具,但也可以从各种类型的 Python 序列(列表、NumPy 数组、pandas 数据)创建。

创建数组的一种简单方法是使用 pyarrow.array,它类似于 numpy.array 函数。默认情况下,PyArrow 会为您推断数据类型。

In [25]: arr = pa.array([1, 2, None, 3])

In [26]: arr
Out[26]: 
<pyarrow.lib.Int64Array object at 0x7f15a08d6da0>
[
  1,
  2,
  null,
  3
]

但您也可以传递特定的数据类型来覆盖类型推断。

In [27]: pa.array([1, 2], type=pa.uint16())
Out[27]: 
<pyarrow.lib.UInt16Array object at 0x7f15a070c640>
[
  1,
  2
]

数组的 type 属性是相应的类型元数据部分。

In [28]: arr.type
Out[28]: DataType(int64)

每个内存中的数组都有一个已知的长度和空值计数(如果没有任何空值,则为空值计数为 0)。

In [29]: len(arr)
Out[29]: 4

In [30]: arr.null_count
Out[30]: 1

可以使用正常的索引选择标量值。 pyarrow.arrayNone 值转换为 Arrow 空值;我们返回特殊的 pyarrow.NA 值来表示空值。

In [31]: arr[0]
Out[31]: <pyarrow.Int64Scalar: 1>

In [32]: arr[2]
Out[32]: <pyarrow.Int64Scalar: None>

Arrow 数据是不可变的,因此可以选中值,但不能赋值。

数组可以不进行复制地切片。

In [33]: arr[1:3]
Out[33]: 
<pyarrow.lib.Int64Array object at 0x7f15a070d540>
[
  2,
  null
]

空值和 NaN 处理#

如上一节所述,Python 对象 None 在转换为 pyarrow.Array 时总是会被转换为 Arrow 空元素。对于通过 Python 对象 float('nan')numpy.nan 表示的浮点 NaN 值,我们通常会在转换过程中将其转换为有效的浮点值。如果向 pyarrow.array 传递包含 np.nan 的整数输入,则会引发 ValueError

为了更好地兼容 Pandas,我们支持将 NaN 值解释为空元素。在所有 from_pandas 函数中自动启用此功能,并且可以通过将 from_pandas=True 作为函数参数传递来在其他转换函数中启用此功能。

列表数组#

pyarrow.array 能够推断简单嵌套数据结构(如列表)的类型。

In [34]: nested_arr = pa.array([[], None, [1, 2], [None, 1]])

In [35]: print(nested_arr.type)
list<item: int64>

ListView 数组#

pyarrow.array 可以创建一种名为 ListView 的替代列表类型。

In [36]: nested_arr = pa.array([[], None, [1, 2], [None, 1]], type=pa.list_view(pa.int64()))

In [37]: print(nested_arr.type)
list_view<item: int64>

ListView 数组与 List 数组具有不同的缓冲区集。ListView 数组同时具有偏移量缓冲区和大小缓冲区,而 List 数组只有偏移量缓冲区。这使得 ListView 数组可以指定无序的偏移量。

In [38]: values = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

In [39]: offsets = [4, 2, 0]

In [40]: sizes = [2, 2, 2]

In [41]: arr = pa.ListViewArray.from_arrays(offsets, sizes, values)

In [42]: arr
Out[42]: 
<pyarrow.lib.ListViewArray object at 0x7f15a070df60>
[
  [
    5,
    6
  ],
  [
    3,
    4
  ],
  [
    1,
    2
  ]
]

有关 ListView 布局 的更多详细信息,请参阅格式规范。

结构体数组#

pyarrow.array 能够从字典数组推断结构体类型的模式。

In [43]: pa.array([{'x': 1, 'y': True}, {'z': 3.4, 'x': 4}])
Out[43]: 
<pyarrow.lib.StructArray object at 0x7f15a08d7700>
-- is_valid: all not null
-- child 0 type: int64
  [
    1,
    4
  ]
-- child 1 type: bool
  [
    true,
    null
  ]
-- child 2 type: double
  [
    null,
    3.4
  ]

结构体数组可以从 Python 字典或元组序列初始化。对于元组,您必须显式传递类型。

In [44]: ty = pa.struct([('x', pa.int8()),
   ....:                 ('y', pa.bool_())])
   ....: 

In [45]: pa.array([{'x': 1, 'y': True}, {'x': 2, 'y': False}], type=ty)
Out[45]: 
<pyarrow.lib.StructArray object at 0x7f15a070d8a0>
-- is_valid: all not null
-- child 0 type: int8
  [
    1,
    2
  ]
-- child 1 type: bool
  [
    true,
    false
  ]

In [46]: pa.array([(3, True), (4, False)], type=ty)
Out[46]: 
<pyarrow.lib.StructArray object at 0x7f15a070d7e0>
-- is_valid: all not null
-- child 0 type: int8
  [
    3,
    4
  ]
-- child 1 type: bool
  [
    true,
    false
  ]

在初始化结构体数组时,允许在结构体级别和各个字段级别使用空值。如果从 Python 字典序列进行初始化,则缺少的字典键将被视为空值。

In [47]: pa.array([{'x': 1}, None, {'y': None}], type=ty)
Out[47]: 
<pyarrow.lib.StructArray object at 0x7f15a070e5c0>
-- is_valid:
  [
    true,
    false,
    true
  ]
-- child 0 type: int8
  [
    1,
    0,
    null
  ]
-- child 1 type: bool
  [
    null,
    false,
    null
  ]

您也可以从结构体的每个组件的现有数组构造结构体数组。在这种情况下,数据存储将与各个数组共享,并且不会进行任何复制。

In [48]: xs = pa.array([5, 6, 7], type=pa.int16())

In [49]: ys = pa.array([False, True, True])

In [50]: arr = pa.StructArray.from_arrays((xs, ys), names=('x', 'y'))

In [51]: arr.type
Out[51]: StructType(struct<x: int16, y: bool>)

In [52]: arr
Out[52]: 
<pyarrow.lib.StructArray object at 0x7f15a070dc00>
-- is_valid: all not null
-- child 0 type: int16
  [
    5,
    6,
    7
  ]
-- child 1 type: bool
  [
    false,
    true,
    true
  ]

映射数组#

映射数组可以从键-值对(元组)的列表列表构造,但前提是您必须将类型显式传递到 array() 中。

In [53]: data = [[('x', 1), ('y', 0)], [('a', 2), ('b', 45)]]

In [54]: ty = pa.map_(pa.string(), pa.int64())

In [55]: pa.array(data, type=ty)
Out[55]: 
<pyarrow.lib.MapArray object at 0x7f15a070f100>
[
  keys:
  [
    "x",
    "y"
  ]
  values:
  [
    1,
    0
  ],
  keys:
  [
    "a",
    "b"
  ]
  values:
  [
    2,
    45
  ]
]

映射数组也可以从偏移量、键和项目数组构造。偏移量表示每个映射的起始位置。请注意,MapArray.keysMapArray.items 属性提供了扁平化的键和项目。要将键和项目与其对应的行相关联,请使用 ListArray.from_arrays() 构造函数以及 MapArray.offsets 属性。

In [56]: arr = pa.MapArray.from_arrays([0, 2, 3], ['x', 'y', 'z'], [4, 5, 6])

In [57]: arr.keys
Out[57]: 
<pyarrow.lib.StringArray object at 0x7f15a070e7a0>
[
  "x",
  "y",
  "z"
]

In [58]: arr.items
Out[58]: 
<pyarrow.lib.Int64Array object at 0x7f15a070f2e0>
[
  4,
  5,
  6
]

In [59]: pa.ListArray.from_arrays(arr.offsets, arr.keys)
Out[59]: 
<pyarrow.lib.ListArray object at 0x7f15a08d5f60>
[
  [
    "x",
    "y"
  ],
  [
    "z"
  ]
]

In [60]: pa.ListArray.from_arrays(arr.offsets, arr.items)
Out[60]: 
<pyarrow.lib.ListArray object at 0x7f15a070f520>
[
  [
    4,
    5
  ],
  [
    6
  ]
]

联合体数组#

联合体类型表示一个嵌套的数组类型,其中每个值可以是(并且只能是)一组可能类型中的一个类型。联合体数组有两种可能的存储类型:稀疏和密集。

在稀疏联合体数组中,每个子数组的长度都与最终的联合体数组的长度相同。它们与一个 int8“类型”数组相连,该数组指示每个值应该从哪个子数组中选择。

In [61]: xs = pa.array([5, 6, 7])

In [62]: ys = pa.array([False, False, True])

In [63]: types = pa.array([0, 1, 1], type=pa.int8())

In [64]: union_arr = pa.UnionArray.from_sparse(types, [xs, ys])

In [65]: union_arr.type
Out[65]: SparseUnionType(sparse_union<0: int64=0, 1: bool=1>)

In [66]: union_arr
Out[66]: 
<pyarrow.lib.UnionArray object at 0x7f15a070fbe0>
-- is_valid: all not null
-- type_ids:   [
    0,
    1,
    1
  ]
-- child 0 type: int64
  [
    5,
    6,
    7
  ]
-- child 1 type: bool
  [
    false,
    false,
    true
  ]

在密集联合体数组中,除了 int8“类型”数组之外,您还需要传递一个 int32“偏移量”数组,该数组指示每个值在选定子数组中的哪个偏移量处可以找到。

In [67]: xs = pa.array([5, 6, 7])

In [68]: ys = pa.array([False, True])

In [69]: types = pa.array([0, 1, 1, 0, 0], type=pa.int8())

In [70]: offsets = pa.array([0, 0, 1, 1, 2], type=pa.int32())

In [71]: union_arr = pa.UnionArray.from_dense(types, offsets, [xs, ys])

In [72]: union_arr.type
Out[72]: DenseUnionType(dense_union<0: int64=0, 1: bool=1>)

In [73]: union_arr
Out[73]: 
<pyarrow.lib.UnionArray object at 0x7f15a07446a0>
-- is_valid: all not null
-- type_ids:   [
    0,
    1,
    1,
    0,
    0
  ]
-- value_offsets:   [
    0,
    0,
    1,
    1,
    2
  ]
-- child 0 type: int64
  [
    5,
    6,
    7
  ]
-- child 1 type: bool
  [
    false,
    true
  ]

字典数组#

PyArrow 中的字典类型是一种特殊的数组类型,类似于 R 中的因子或 pandas.Categorical。它使文件或流中的一个或多个记录批次能够传输引用共享字典的整型索引,该字典包含逻辑数组中的不同值。这在字符串中经常使用,可以节省内存并提高性能。

Apache Arrow 格式中处理字典的方式,以及在 C++ 和 Python 中显示字典的方式略有不同。我们定义了一个特殊的 DictionaryArray 类型,该类型具有相应的字典类型。让我们来看一个示例

In [74]: indices = pa.array([0, 1, 0, 1, 2, 0, None, 2])

In [75]: dictionary = pa.array(['foo', 'bar', 'baz'])

In [76]: dict_array = pa.DictionaryArray.from_arrays(indices, dictionary)

In [77]: dict_array
Out[77]: 
<pyarrow.lib.DictionaryArray object at 0x7f15a073a420>

-- dictionary:
  [
    "foo",
    "bar",
    "baz"
  ]
-- indices:
  [
    0,
    1,
    0,
    1,
    2,
    0,
    null,
    2
  ]

这里我们有

In [78]: print(dict_array.type)
dictionary<values=string, indices=int64, ordered=0>

In [79]: dict_array.indices
Out[79]: 
<pyarrow.lib.Int64Array object at 0x7f15a07450c0>
[
  0,
  1,
  0,
  1,
  2,
  0,
  null,
  2
]

In [80]: dict_array.dictionary
Out[80]: 
<pyarrow.lib.StringArray object at 0x7f15a07452a0>
[
  "foo",
  "bar",
  "baz"
]

在将 DictionaryArray 与 pandas 一起使用时,类似的是 pandas.Categorical(稍后会详细介绍)。

In [81]: dict_array.to_pandas()
Out[81]: 
0    foo
1    bar
2    foo
3    bar
4    baz
5    foo
6    NaN
7    baz
dtype: category
Categories (3, object): ['foo', 'bar', 'baz']

记录批次#

Apache Arrow 中的记录批次是一组等长数组实例。让我们来看一个数组集合。

In [82]: data = [
   ....:     pa.array([1, 2, 3, 4]),
   ....:     pa.array(['foo', 'bar', 'baz', None]),
   ....:     pa.array([True, None, False, True])
   ....: ]
   ....: 

可以使用 RecordBatch.from_arrays 从这个数组列表创建记录批次。

In [83]: batch = pa.RecordBatch.from_arrays(data, ['f0', 'f1', 'f2'])

In [84]: batch.num_columns
Out[84]: 3

In [85]: batch.num_rows
Out[85]: 4

In [86]: batch.schema
Out[86]: 
f0: int64
f1: string
f2: bool

In [87]: batch[1]
Out[87]: 
<pyarrow.lib.StringArray object at 0x7f15a0746260>
[
  "foo",
  "bar",
  "baz",
  null
]

记录批次可以像数组一样不进行内存复制地切片。

In [88]: batch2 = batch.slice(1, 3)

In [89]: batch2[1]
Out[89]: 
<pyarrow.lib.StringArray object at 0x7f15a0746500>
[
  "bar",
  "baz",
  null
]

#

PyArrow Table 类型不是 Apache Arrow 规范的一部分,而是用于帮助将多个记录批次和数组片段整理成一个逻辑数据集的工具。作为一个相关的例子,我们可能会在套接字流中接收多个小型记录批次,然后需要将它们连接到连续内存中以在 NumPy 或 pandas 中使用。Table 对象使这变得高效,而无需额外的内存复制。

考虑到我们上面创建的记录批次,我们可以使用 Table.from_batches 创建一个包含一个或多个批次副本的表。

In [90]: batches = [batch] * 5

In [91]: table = pa.Table.from_batches(batches)

In [92]: table
Out[92]: 
pyarrow.Table
f0: int64
f1: string
f2: bool
----
f0: [[1,2,3,4],[1,2,3,4],...,[1,2,3,4],[1,2,3,4]]
f1: [["foo","bar","baz",null],["foo","bar","baz",null],...,["foo","bar","baz",null],["foo","bar","baz",null]]
f2: [[true,null,false,true],[true,null,false,true],...,[true,null,false,true],[true,null,false,true]]

In [93]: table.num_rows
Out[93]: 20

表的列是 ChunkedArray 的实例,它是一个包含一个或多个相同类型数组的容器。

In [94]: c = table[0]

In [95]: c
Out[95]: 
<pyarrow.lib.ChunkedArray object at 0x7f15a0746bc0>
[
  [
    1,
    2,
    3,
    4
  ],
  [
    1,
    2,
    3,
    4
  ],
...,
  [
    1,
    2,
    3,
    4
  ],
  [
    1,
    2,
    3,
    4
  ]
]

In [96]: c.num_chunks
Out[96]: 5

In [97]: c.chunk(0)
Out[97]: 
<pyarrow.lib.Int64Array object at 0x7f15a0746e00>
[
  1,
  2,
  3,
  4
]

正如您将在 pandas 部分 中看到的那样,我们可以将这些对象转换为连续的 NumPy 数组以便在 pandas 中使用。

In [98]: c.to_pandas()
Out[98]: 
0     1
1     2
2     3
3     4
4     1
5     2
6     3
7     4
8     1
9     2
10    3
11    4
12    1
13    2
14    3
15    4
16    1
17    2
18    3
19    4
Name: f0, dtype: int64

如果模式相同,也可以使用 pyarrow.concat_tables 将多个表连接在一起形成一个单一表。

In [99]: tables = [table] * 2

In [100]: table_all = pa.concat_tables(tables)

In [101]: table_all.num_rows
Out[101]: 40

In [102]: c = table_all[0]

In [103]: c.num_chunks
Out[103]: 10

这类似于 Table.from_batches,但使用表作为输入而不是记录批次。记录批次可以转换为表,但反之则不行,因此如果您的数据已经处于表形式,则使用 pyarrow.concat_tables

自定义模式和字段元数据#

Arrow 支持模式级和字段级自定义键值元数据,允许系统插入他们自己的应用程序定义的元数据来定制行为。

可以在 Schema.metadata 中访问模式级的自定义元数据,并在 Field.metadata 中访问字段级的自定义元数据。

请注意,此元数据在 流式处理、序列化和 IPC 过程中得到保留。

要定制现有表的模式元数据,可以使用 Table.replace_schema_metadata()

In [104]: table.schema.metadata # empty

In [105]: table = table.replace_schema_metadata({"f0": "First dose"})

In [106]: table.schema.metadata
Out[106]: {b'f0': b'First dose'}

要定制表模式中字段的元数据,可以使用 Field.with_metadata()

In [107]: field_f1 = table.schema.field("f1")

In [108]: field_f1.metadata # empty

In [109]: field_f1 = field_f1.with_metadata({"f1": "Second dose"})

In [110]: field_f1.metadata
Out[110]: {b'f1': b'Second dose'}

这两个选项都会创建数据的浅层副本,实际上不会更改模式,因为模式是不可变的。要更改表模式中的元数据,我们在调用 Table.replace_schema_metadata() 时创建了一个新对象。

要更改模式中字段的元数据,我们需要定义一个新的模式并将数据强制转换为此模式。

In [111]: my_schema2 = pa.schema([
   .....:    pa.field('f0', pa.int64(), metadata={"name": "First dose"}),
   .....:    pa.field('f1', pa.string(), metadata={"name": "Second dose"}),
   .....:    pa.field('f2', pa.bool_())],
   .....:    metadata={"f2": "booster"})
   .....: 

In [112]: t2 = table.cast(my_schema2)

In [113]: t2.schema.field("f0").metadata
Out[113]: {b'name': b'First dose'}

In [114]: t2.schema.field("f1").metadata
Out[114]: {b'name': b'Second dose'}

In [115]: t2.schema.metadata
Out[115]: {b'f2': b'booster'}

元数据键值对在 C++ 实现中是 std::string 对象,因此它们在 Python 中是字节对象 (b'...')。

记录批次读取器#

PyArrow 中的许多函数要么返回 RecordBatchReader,要么将它作为参数。它可以像任何记录批次的可迭代对象一样使用,但它还提供它们的公共模式,而无需获取任何批次。

>>> schema = pa.schema([('x', pa.int64())])
>>> def iter_record_batches():
...    for i in range(2):
...       yield pa.RecordBatch.from_arrays([pa.array([1, 2, 3])], schema=schema)
>>> reader = pa.RecordBatchReader.from_batches(schema, iter_record_batches())
>>> print(reader.schema)
pyarrow.Schema
x: int64
>>> for batch in reader:
...    print(batch)
pyarrow.RecordBatch
x: int64
pyarrow.RecordBatch
x: int64

它也可以使用 C 流接口 在语言之间发送。

将记录批次转换为张量#

RecordBatch 中的每个数组都有自己的连续内存,它们不一定与其他数组相邻。机器学习库中使用的另一种内存结构是二维数组(也称为二维张量或矩阵),它只占用一个连续的内存块。

因此,有一个函数 pyarrow.RecordBatch.to_tensor() 可用于将表格列式数据有效地转换为张量。

此转换支持的数据类型为无符号、有符号整数和浮点类型。目前只支持列主转换。

>>>  import pyarrow as pa
>>>  arr1 = [1, 2, 3, 4, 5]
>>>  arr2 = [10, 20, 30, 40, 50]
>>>  batch = pa.RecordBatch.from_arrays(
...      [
...          pa.array(arr1, type=pa.uint16()),
...          pa.array(arr2, type=pa.int16()),
...      ], ["a", "b"]
...  )
>>>  batch.to_tensor()
<pyarrow.Tensor>
type: int32
shape: (9, 2)
strides: (4, 36)
>>>  batch.to_tensor().to_numpy()
array([[ 1, 10],
      [ 2, 20],
      [ 3, 30],
      [ 4, 40],
      [ 5, 50]], dtype=int32)

null_to_nan 设置为 True,您也可以转换包含空值的数据。它们将被转换为 NaN

>>> import pyarrow as pa
>>> batch = pa.record_batch(
...     [
...         pa.array([1, 2, 3, 4, None], type=pa.int32()),
...         pa.array([10, 20, 30, 40, None], type=pa.float32()),
...     ], names = ["a", "b"]
... )
>>> batch.to_tensor(null_to_nan=True).to_numpy()
array([[ 1., 10.],
      [ 2., 20.],
      [ 3., 30.],
      [ 4., 40.],
      [nan, nan]])